Kalkulus diferensial fungsi tina salah jeung sababaraha variabel

kalkulus diferensial ngarupakeun cabang analisis matematik, nu examines turunan, differentials sarta pamakéan maranéhanana dina ulikan ngeunaan fungsi.

Carita

kalkulus diferensial mecenghul salaku hiji disiplin nu mandiri dina satengah kadua abad ka-17, hatur nuhun kana karya Newton sarta Leibniz, anu ngarumuskeun dibekelan dasar dina itungan differentials na noticed sambungan antara integrasi sarta diferensiasi. Kusabab disiplin anjeunna dimekarkeun sapanjang jeung itungan integrals, kukituna constituting dasar analisis matematik. Penampilan calculi ieu dibuka periode modern anyar dina dunya matematik sarta ngabalukarkeun mecenghulna disiplin anyar dina elmu pangaweruh. Ogé ngalegaan kamungkinan nerapkeun matematik dina élmu alam jeung rékayasa.

konsep dasar

kalkulus diferensial ieu dumasar kana konsep dasar matematika. Aranjeunna: angka riil, continuity sarta wates fungsi. Sanggeus hiji waktu, maranéhna geus nyokot katingal modern, hatur nuhun kana integral sarta diferensial kalkulus.

Prosés nyieun

Wangunan tina kalkulus diferensial dina bentuk hiji aplikasi, lajeng métode ilmiah lumangsung méméh mecenghulna Téori filosofis, anu dijieun ku Nikolay Kuzansky. karyana nu dianggap hiji ngembangkeun évolusionér ti elmu kuno judgment. Najan kanyataan yén filsuf sorangan ieu mah matematika a, kontribusi pikeun ngembangkeun elmu matematik nyaeta undeniable. Cusa, salah sahiji kaluar heula tina tinimbangan arithmetic salaku elmu paling akurat, math putting waktu kana sual.

Dina matematikawan kuna kriteria universal éta Unit hiji, sedengkeun filsuf diajukeun salaku ukuran takterhingga anyar balik jumlah pasti. Dina sambungan kalawan ngagambarkeun inverted ieu akurasi dina elmu matematik. pangaweruh saintifik, dina pintonan-Na, dibagi kana rasional tur calakan. kadua nyaeta beuki akurat, nurutkeun élmuwan, saprak urut témbong ukur hasil perkiraan.

gagasan

Gagasan dasar jeung konsép kalkulus diferensial pakait sareng fungsi dina hiji lingkungan leutik titik nu tangtu. Keur kitu perlu nyieun hiji aparat matematik alat anu fungsina studi anu kabiasaan dina lingkungan leutik titik dipasang deukeut jeung paripolah fungsi linier atanapi polynomial a. Dumasar harti ieu turunan sarta diferensial.

Mecenghulna konsép turunan nu ieu disababkeun ku angka nu gede ngarupakeun masalah élmu alam jeung matematika, nu ngarah ka tekad tina nilai wates tina tipe sarua.

Salah sahiji tugas utama nu dibikeun sabagé conto, dimimitian ku kelas sakola pangkolotna, nyaéta pikeun nangtukeun laju gerak titik di hiji garis lempeng jeung pangwangunan garis tangent kana kurva ieu. diferensial nu numbu ka ieu, ti kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun sasarua-saruana fungsi dina hiji lingkungan leutik tina point of fungsi linier.

Dibandingkeun jeung konsép turunan hiji fungsi tina variabel nyata, ngartikeun differentials saukur pas dina fungsi alam umum, hususna gambar tina rohangan Euclidean ka nu sejen.

turunan

Hayu ngalir titik di arah nu y-sumbu, for jaman ayeuna urang nyandak x, nu diukur ti mimiti masihan. Ngajelaskeun gerakan misalna hiji mungkin ku fungsi y = f (x), nu pakait jeung masing-masing waktu titik x koordinat titik displaceable. Ieu panggero fungsi dina mékanika nyandak hukum gerak. Ciri utama gerak, utamana henteu rata, aya laju sakedapan. Lamun titik kasebut dipindahkeun sapanjang y sumbu-nurutkeun hukum mékanika, waktu titik acak deui acquires koordinat x f (x). Dina waktos titik x + Δh, dimana Δh ngawakilan increment waktu, éta bakal kordinaty f (x + Δh). Rumus Ku kituna kabentuk Δy = f (x + Δh) - f (x), nu disebut hiji fungsi increment. Ieu mangrupakeun titik jalur diliwatan antukna ti x ka x + Δh.

Dina sambungan jeung lumangsungna laju di waktu turunan urusanna. Turunan fungsi wae di hiji titik dibereskeun disebut wates éta (asumsina dinya aya). Ieu bisa disebut aksara tangtu:

f '(x), y', Y, dF / DX, dy / DX, dF (x).

Prosés ngitung turunan diferensiasi panggero.

kalkulus diferensial fungsi tina sababaraha variabel

Metoda ieu dilarapkeun nalika ngitung ulikan fungsi, sababaraha variabel. Lamun aya dua variabel x jeung y, turunan parsial nu aya kaitannana ka x dina titik A disebut turunan fungsi ieu x ku y dibereskeun.

Bisa jadi dituduhkeun ku lambang handap:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x na ∂f (x, y) '/ ∂x.

kaahlian diperlukeun

Dina raraga hasil diajar sarta bisa ngajawab kaahlian diperlukeun diffury dina integrasi sarta diferensiasi. Sangkan leuwih gampang neuleuman differential equations, kudu dipikaharti topik turunan sarta teu katangtu integral. Ogé teu menyakiti pikeun neuleuman néangan turunan tina fungsi implisit. Ieu alatan kanyataan yén dina prosés pembelajaran mindeng bakal make integrals na diferensiasi.

Jenis differential equations

Ampir sakabéh karya kontrol pakait sareng persamaan diferensial mimitina-urutan, aya 3 rupa persamaan: homogen, jeung variabel pisah, linier inhomogeneous.

Aya ogé beuki langka spésiés persamaan kalayan total differentials, persamaan Bernoulli urang, jeung sajabana.

solusi Chairil Anwar

Pikeun ngawitan, urang kudu inget nyaeta persamaan aljabar tina kursus sakola. Éta ngandung variabel sarta nomer. Dina raraga ngajawab persamaan konvensional kedah manggihan nyatu angka nu nyugemakeun hiji kaayaan ditangtukeun. Ilaharna, persamaan ieu mibanda hiji akar, jeung validasi ngan kedah ngagantikeun nilai ieu kana tempat kanyahoan.

Persamaan diferensial téh sarupa jeung ieu. Sacara umum, hiji persamaan tina urutan kahiji ngandung:

• variabel bebas.
• A turunan tina fungsi munggaran.
• Fungsi atawa variabel terikat.

Dina sababaraha kasus, meureun aya euweuh hiji kanyahoan, x atawa y, tapi teu jadi penting minangka perlu boga turunan kahiji, kalayan henteu turunan urutan luhur ka solusi jeung kalkulus diferensial éta leres.

Ngajawab persamaan diferensial - hartina pikeun manggihan susunan sakabeh fungsi anu ekspresi dibikeun merenah. susunan sapertos fungsi ilahar disebut kadali solusi umum.

kalkulus integral

make kalkulus integral mangrupakeun salah sahiji bagian tina analisis matematik, nu examines konsép integral, sipat jeung métode itungan na.

Mindeng itungan integral dina lumangsung nalika ngitung wewengkon wangun curvilinear. Ku ieu hartina wewengkon wates, arah mana wewengkon predetermined tina bentuk polygon nu inscribed ku nambahanana bertahap di leungeun-Na, jeung sisi data bisa dijieun kirang ti sagala nilai leutik sawenang saméméhna dieusian.

Gagasan utama dina itungan wewengkon mana wae bentukna Geometri ngitung legana sagi opat, mangka aya bukti yén wewengkon na sarua jeung produk anu panjangna ku lebar. Lamun datang ka géométri, teras sadaya constructions dijieun maké pangawasa jeung kompas, lajeng babandingan panjangna mun lebar mangrupakeun nilai rasional. Lamun ngitung wewengkon hiji segitiga katuhu bisa ditangtukeun yén lamun nunda segitiga hareup, hiji sagi opat kabentuk. Di wewengkon parallelogram nu diitung dina metoda sarupa tapi rada leuwih pajeulit, dina hiji sagi opat na segitiga. Di wewengkon polygon a dianggap ku triangles kaasup di jerona.

Dina nangtukeun rahmat sawenang, metoda ieu henteu cocog kurva. Lamun urang megatkeun kana kuadrat individual, eta bakal tetep tempat unfilled. Dina hal ieu, coba ngagunakeun dua jas, kalawan rectangles luhur jeung handap, salaku hasil tina eta kaasup grafik ngeunaan fungsi jeung teu kaasup. Nu penting di dieu mangrupakeun jalan pikeun megatkeun rectangles ieu. Ogé, lamun urang nyandak liburan beuki loba ngurangan, wewengkon luhureun tur handap kedah konvergen dina nilai nu tangtu.

Sakuduna balik deui ka metoda pikeun misahkeun kana rectangles. Aya dua metodeu populér.

Riemann ieu formalized harti tina integral, dijieun ku Leibniz sarta Newton, sakumaha legana subgraph. Dina hal ieu, urang dianggap inohong nu diwangun ku sababaraha rectangles nangtung diala ku ngabagi interpa. Nalika megatkeun panurunan aya wates nu legana ngurangan tina inohong sapertos ieu, wates ieu disebut integral Riemann sahiji fungsi hiji dina interval dieusian.

Hiji métode kadua keur nyusunna nu Lebesgue integral, diwangun dina kanyataan yén di tempat separation aréa diresmikeun dina bagian tina integrand jeung compiling lajeng jumlah integral ti nilai diala dina bagian ieu, dina interval dibagi rentang miboga nilai, lajeng dijumlahkeun jeung ukuran saluyu Gambar kabalikan tina integrals ieu.

AIDS modern

Salah sahiji kauntungan utama pikeun ulikan diferensial na make kalkulus integral Fikhtengol'ts wrote - "tina diferensial na make kalkulus integral". buku ajar nya alat dasar pikeun ulikan ngeunaan analisis matematik, nu withstood loba édisi sarta tarjamahan kana basa lianna. Dijieun pikeun siswa jeung lila dipaké dina rupa-rupa lembaga atikan salaku salah sahiji kauntungan utama pangajian. Méré informasi teoritis sarta kaahlian praktis. Kahiji diterbitkeun dina 1948.

fungsi panalungtikan algoritma

Ngajajah metodeu sahiji fungsi diferensial kalkulus, anjeun kudu nuturkeun ieu geus dibéré algoritma:

1. Manggihan domain sahiji fungsi dina.
2. Neangan akar persamaan dibikeun.
3. Ngitung extremes. Jang ngalampahkeun ieu, urang ngitung turunan sarta titik dimana eta sarua jeung nol.
4. Urang ngagantikeun nilai diala di EQ.

Variétas differential equations

Kadali Urutan kahiji (disebutkeun, kalkulus diferensial hiji variabel) jeung jenis maranéhna:

• Kalawan variabel pisah persamaan: f (y) dy = g (x) DX.
• Persamaan atanapi diferensial fungsi kalkulus pangbasajanna hiji variabel, ngabogaan rumus: y '= f (x).
• The linear mimitina-urutan kontrol nonuniform: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli persamaan diferensial: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Persamaan total differentials kalayan: P (x, y) DX + Q (x, y) dy = 0.

Persamaan diferensial tina urutan kadua jeung jenis maranéhna:

• persamaan urutan kadua diferensial linier homogen jeung ^{koéfisién konstan: y n + py '+ qy} = 0 p, q milik R.
• urutan kadua persamaan diferensial linier Inhomogeneous kalayan ^nilai koefisien ^{konstan: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogen linier ^{persamaan diferensial: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, sarta inhomogeneous ^persamaan urutan ^{kadua: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

differential equations pemesanan luhur sarta jenis maranéhna:

• Persamaan diferensial, sahingga réduksi tina ^{ordo: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A persamaan linier urutan luhur ^{_{homogen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, sarta ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Tahapan ngarengsekeun masalahna kalayan persamaan diferensial

Kalayan bantuan kadali jauh téh direngsekeun teu ukur matematik atawa masalah fisik, tapi oge sagala rupa masalah biologi, ékonomi, sosiologi jeung sajabana. Najan rupa-rupa jejer, kudu nuturkeun réntétan logika tunggal pikeun ngarengsekeun masalah ieu:

1. Teken nepi kontrol. Salah sahiji tahap paling hese, nu merlukeun akurasi maksimum, sabab kasalahan naon bakal ngakibatkeun hasil sagemblengna salah. Perlu tumut kana akun sadayana faktor mangaruhan prosés jeung nangtukeun kaayaan awal. Ogé kudu dumasar kana fakta jeung conclusions logis.
2. Keur ngaréngsékeun persamaan. prosés ieu téh gampang ka titik mimiti, saprak merlukeun ukur palaksanaan ketat itungan matematik.
3. Analisis jeung evaluasi hasil. solusi diturunkeun kudu ditaksir pikeun pamasangan nilai praktis tur teoritis ngeunaan hasilna.

Conto pamakéan diferensial persamaan di ubar

Ngagunakeun kadali jauh dina widang kadokteran ieu kapanggih dina pangwangunan modél matematika epidemiological. Kami teu kedah hilap yén persamaan ieu téh ogé kapanggih dina biologi jeung kimia nu deukeut ka ubar, sabab eta muterkeun peran penting ulikan ngeunaan populasi biologis béda jeung prosés kimia dina awak manusa.

Dina conto ieu, sumebarna wabah inféksi bisa dirawat di hiji komunitas terasing. Pangeusi dibagi kana tilu jenis:

• Kainféksi, jumlah tina x (t), anu diwangun ti individu, operator tepa, nu masing-masing mangrupakeun tepa (Mangsa inkubasi nyaeta pondok).
• Jenis kadua ngawengku susceptible individu y (t), bisa katépa ku kontak kalayan kainféksi.
• Tipe katilu ngawengku individu refractory z (t), anu mangrupakeun imun atawa leungit alatan gering.

Jumlah individu terus, ngajaga kalahiran, kapapaténan alam na hijrah teu dianggap. Dina inti bakal dua hipotesis.

Kasakit persén di sawatara titik waktu sarua jeung x (t) y (t) (dumasar asumsi dina teori yen jumlah kasus di Indonesia saimbang kana Jumlah intersections antara penderita sarta anggota responsif, nu dina pendekatan mimiti sabanding jeung x (t) y (t)), dina kituna jumlah kasus ieu ngaronjatkeun, sarta lobana nurun susceptible dina laju nu diitung ku rumus kampak (t) y (t) (anu> 0).

Jumlah sato non-responders nu maot atawa kaala kekebalan, ngaronjat dina laju nu sabanding jeung jumlah kasus, bx (t) (b> 0).

Hasilna, anjeun tiasa nyetél sistem tina persamaan kalayan sagala tilu indikator anu dina dasar conclusions na.

pamakéan conto ékonomi

kalkulus diferensial mindeng dipaké dina analisis ékonomi. Tugas utama dina analisis ékonomi nu dianggap ulikan ngeunaan nilai ekonomi, nu dirékam dina bentuk fungsi nu. Hal ieu dipaké dina ngarengsekeun masalah kayaning parobahan nambahan pajeg panghasilan langsung saatos, waragad asupna, parobahan revenues lamun ngarobah éta nilai produk, dina naon saimbang bisa diganti ku pagawé pensiunan jeung alat-alat nu anyar. Pikeun ngajawab masalah sapertos, éta anu diperlukeun keur nyusunna mangrupa fungsi komunikasi teh variabel asup, nu, sanggeus keur ditalungtik ku kalkulus diferensial.

éta mindeng perlu neangan kinerja paling optimal dina lapisan ékonomi: produktivitas maksimum, panghasilan pangluhurna, ongkos sahenteuna jeung saterusna. Tiap komponén sapertos nyaeta fungsi hiji atawa leuwih alesan. Contona, produksi bisa dianggap salaku fungsi tina kuli sarta ibukota. Dina sambungan ieu, nyungsi hiji nilai cocog bisa diréduksi jadi nyungsi maksimum atawa minimum fungsi hiji atawa leuwih variabel.

Masalah misalna nyieun hiji kelas masalah extremal dina widang ékonomi, keur nu perlu kalkulus diferensial. Nalika indikator ekonomi anu diperlukeun pikeun ngaleutikan atawa ngamaksimalkeun salaku fungsi parameter sejen, rasio increment titik maksimum fungsi kana alesan bakal condong enol lamun increment sahiji argumen condong nol. Upami teu kitu, lamun dangong misalna hiji nuju ka nilai positif atawa négatif tangtu, titik dieusian teu cocog, sabab ku cara ningkatkeun atawa nurunna argumen bisa dirobah nilai gumantung di arah nu dipikahayang. Dina terminologi kalkulus diferensial, ieu bakal hartosna yén kaayaan nu diperlukeun pikeun fungsi maksimum nyaéta nilai enol ngeunaan turunan na.

ékonomi nu teu masalah ilahar tina nyungsi extremum sahiji fungsi sababaraha variabel, sabab indikator ekonomi nu diwangun ku sababaraha faktor. isu sapertos anu ogé dipikaharti dina téori fungsi sababaraha variabel, metoda ngitung diferensial nu. Masalah misalna antarana henteu ngan maksimal sarta minimal fungsi, tapi ogé watesan. patarosan ieu nyaritakeun programming matematik, jeung aranjeunna téh direngsekeun kalayan bantuan métode dimekarkeun husus anu ogé dumasar kana cabang ieu elmu.

Diantara metodeu of kalkulus diferensial dipaké dina ekonomi, hiji bagian penting nyaéta tés pamungkas. Dina lapisan ékonomi, istilah nujul kana susunan métode panalungtikan kinerja variabel sarta hasilna mun anjeun robah volume kreasi, konsumsi, dumasar hiji analisa nilai wates maranéhanana. Ngawatesan indikasi dianggap turunan atawa turunan parsial kalawan sababaraha variabel.

kalkulus diferensial tina sababaraha variabel - hiji topik penting analisis matematik. Pikeun ulikan nu lengkep, anjeun tiasa nganggo rupa-rupa AIDS pangajaran keur institusi atikan luhur. Salah sahiji Fikhtengol'ts dijieun kawentar - "tina diferensial na make kalkulus integral". Sabaraha tina ngaran pikeun solusi differential equations of considerable pentingna pikeun boga kaahlian digawekeun ku integrals. Lamun aya hiji kalkulus diferensial sahiji fungsi hiji variabel, kaputusan janten gampang. Sanajan, eta kudu dicatet, kitu kieu aturan dasarna sarua. Dina prakték, pikeun nalungtik fungsi tina kalkulus diferensial, ngan turutan algoritma geus aya, nu dirumuskeun di SMA, sarta ngan saeutik pajeulit jeung bubuka variabel anyar.