Liniér sarta persamaan diferensial homogen tina urutan kahiji. conto solusi

Jigana urang kudu ngamimitian jeung sajarah tina alat matematis glorious sakumaha differential equations. Kawas sakabeh diferensial na make kalkulus integral, persamaan kasebut invented by Newton dina ahir abad ka-17. Anjeunna percaya ieu kapanggihna na jadi Kadé malah pesen énkripsi, nu kiwari bisa ditarjamahkeun kieu: ". Sadaya hukum alam dijentrekeun ku differential equations" Ieu mungkin sigana hiji kaleuleuwihan, tapi éta leres. Sagala hukum fisika, kimia, biology, bisa digambarkeun ku persamaan ieu.

Hiji kontribusi pisan kana ngembangkeun sarta kreasi téori differential equations gaduh matematik tina Euler na Lagrange. Geus di abad ka-18 maranéhna manggihan sarta dimekarkeun naon ayeuna kuliah di kursus universitas senior.

A milestone anyar dina pangajaran differential equations mimiti berkat Anri Puankare. Anjeunna nyiptakeun "téori kualitatif differential equations", anu, digabungkeun jeung téori fungsi variabel kompléks nyumbang nyata pikeun pondasi topology - elmu spasi jeung sipat na.

Naon differential equations?

Loba jalma nu sieun tina frase "persamaan diferensial". Sanajan kitu, dina artikel ieu kami baris diatur kaluar di jéntré hakekat alat matematis pisan mangpaat ieu nu sabenerna teu sakumaha pajeulit sakumaha sigana tina judulna. Dina raraga ngawitan ngobrol ngeunaan persamaan diferensial mimitina-urutan, anjeun kudu mimiti neangan acquainted jeung konsep dasar nu inherently pakait sareng harti ieu. Sarta kami bakal mimitian ku diferensial nu.

diferensial

Loba jalma kenal istilah ieu saprak SMA. Sanajan kitu, masih Huni dinya di jéntré. Ngabayangkeun grafik ngeunaan fungsi nu. Urang bisa ningkatkeun ka extent misalna hiji yén salah sahiji bagean na janten garis lempeng. Éta gé butuh dua titik anu infinitely deukeut unggal lianna. Beda antara koordinat maranéhna (x atawa y) nyaéta infinitesimal. Sarta mangka disebut diferensial tur karakter nunjuk dy (diferensial of y) jeung DX (nu diferensial x). Kadé ngartos yen diferensial nu sanes nu nilai pamungkas, tur ieu téh harti jeung fungsi utama.

Tur ayeuna anjeun kudu mikirkeun elemen handap, nu urang kudu ngajelaskeun konsep persamaan diferensial. Éta - turunan.

turunan

Sakabéh urang kedah tos uninga di sakola na anggapan ieu. Maranéhanana ngomong yén turunan - nyaéta laju tumuwuhna atawa panurunan sahiji fungsi dina. Sanajan kitu, harti ieu janten langkung ngalieurkeun. Hayu urang coba terangkeun istilah turunan tina differentials. Hayu urang balik ka fungsi interval infinitesimal dua titik, nu lokasina di jarak minimum tina tiap lianna. Tapi sanajan saluareun fungsi jarak ieu waktos pikeun ngaganti ka sababaraha nilai. Sarta pikeun nerangkeun parobahan nu na datang nepi ka turunan nu bakal disebutkeun jadi ditulis salaku babandingan differentials: f (x) '= dF / DX.

Ayeuna eta perlu mertimbangkeun sipat dasar tina turunan. Aya ngan tilu:

1. Jumlah turunan atawa bédana bisa digambarkeun salaku jumlah atawa bédana ti turunan: (a + b) '= a' + b ', sarta (AB)' = a'-b '.
2. Harta kadua disambungkeun jeung multiplication. karya turunan - ngarupakeun jumlah tina karya hiji fungsi pikeun turunan sejen: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Turunan bédana bisa ditulis salaku persamaan di handap: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Kabéh fitur ieu datangna di gunana pikeun nyungsi solusi diferensial persamaan tina urutan kahiji.

Ogé, aya turunan parsial. Anggap urang mibanda hiji fungsi tina z, nu gumantung kana variabel x jeung y. Keur ngitung turunan parsial fungsi ieu, contona, dina x, urang kedah nyandak variabel y keur konstanta sarta gampang kalan.

integral

Konsep sejen penting - integral. Kanyataanna éta sabalikna ti turunan. Integrals aya sababaraha jenis, tapi solusi pangbasajanna differential equations, urang peryogi paling trivial integrals teu katangtu.

Ku kituna, naon anu integral? Hayu urang nyebutkeun urang gaduh sababaraha hubungan f tina x. Simkuring nyandak ti dinya integral sarta ménta fungsi F (x) (eta mindeng disebut salaku primitif), nu mangrupakeun turunan tina fungsi aslina. Kituna F (x) '= f (x). Ieu ogé ngakibatkeun yén integral turunan nu sarua jeung fungsi aslina.

Dina ngaréngsékeun persamaan diferensial éta pohara penting pikeun ngarti harti jeung fungsi tina integral, saprak sering pisan kudu dicokot keur manggihkeun solusi.

Persamaan anu béda gumantung kana alam maranéhanana. Dina bagian hareup urang bakal kasampak di rupa persamaan urutan diferensial mimitina, lajeng diajar kumaha carana ngajawab aranjeunna.

Kelas differential equations

"Diffury" dibagi ku urutan sahiji turunan aub dina éta. Kituna aya hiji urutan kahiji, kadua, katilu atawa leuwih. Éta ogé bisa dibagi kana sababaraha kelas: biasa na parsial.

Dina artikel ieu kami baris mertimbangkeun differential equations biasa tina urutan kahiji. Conto na leyuran urang bahas dina bagian handap. Anggap we mung TAC sabab mangrupa jenis paling umum tina persamaan. Biasa dibagi jadi subspésiés: kalawan variabel pisah, homogen jeung hétérogén. Salajengna anjeun bakal diajar kumaha aranjeunna beda unggal sejen, sarta diajar kumaha carana ngajawab aranjeunna.

Sajaba ti éta, persamaan ieu bisa digabungkeun, supaya sanggeus urang meunang sistem differential equations tina urutan kahiji. Sistem misalna, urang ogé kasampak di na neuleuman kumaha carana ngajawab.

Naha urang nu tempo mung urutan kahiji? Sabab perlu mimitian ku basajan jeung ngajelaskeun sadayana dikaitkeun sareng differential equations, dina artikel tunggal mustahil.

Persamaan kalawan variabel pisah

Ieu sugan paling basajan heula persamaan urutan diferensial. Di handap ieu mangrupakeun conto nu bisa ditulis salaku: y '= f (x) * f (y). Pikeun ngajawab persamaan ieu kami kudu rumus ngagambarkeun sahiji turunan salaku babandingan differentials: y '= dy / DX. Kalawan eta kami ménta kasaruan: dy / DX = f (x) * f (y). Ayeuna urang tiasa giliran metoda ngarengsekeun conto standar: misahkeun variabel dina bagian, nyaéta teruskeun gancang sakabeh variabel y dina bagian mana aya dy, sarta ogé nyieun variabel x ... Simkuring ménta hiji persamaan tina bentuk: dy / f (y) = f (x) DX, anu kahontal ku nyokot integrals tina dua bagian. Ulah poho ngeunaan konstan anu rék nempatkeun sanggeus integrasi.

Solusi tina sagala "diffura" - nyaeta fungsi x ku y (bisi urang), atanapi lamun aya kaayaan numeris, jawaban anu jumlahna hiji. Hayu urang nalungtik hiji conto konkrit sakabéh kursus kaputusan:

y '= 2y * dosa (x)

Mindahkeun variabel dina arah béda:

dy / y = 2 * dosa (x) DX

Ayeuna butuh nu integrals. Sakabéh éta bisa kapanggih dina tabel husus tina integrals. Sarta kami meunang:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Lamun diperlukeun, kami bisa nganyatakeun "y" salaku fungsi tina "X". Ayeuna urang tiasa disebutkeun yen persamaan diferensial kami geus direngsekeun, upami teu dieusian kaayaan. Bisa dieusian kaayaan, contona, y (n / 2) = e. Teras we saukur baris ngagantikeun nilai variabel ieu di kaputusan jeung neangan nilai konstan. Dina conto urang, éta 1.

Homogen urutan kahiji differential equations

Ayeuna ka bagean nu leuwih kompleks. Homogen munggaran persamaan urutan diferensial bisa ditulis dina formulir umum salaku: y '= z (x, y). Ieu kudu dicatet yén fungsi katuhu dua variabel nyaéta seragam, sarta eta moal bisa dibagi jadi dua gumantung: z x jeung z of y. Pariksa naha persamaan anu homogén atawa henteu, anu cukup basajan: urang sangkan substitusi x = k * x na y = k * y. Ayeuna kami motong sagala k. Lamun hurup ieu nu turun, teras persamaan homogen jeung bisa aman lumangsungna solusi na. Pilari payun, urang ngomong: prinsip solusi tina conto ieu oge kacida gampangna.

Urang kudu nyieun substitusi nu: y = t (x) * x, dimana t - a fungsi nu ogé gumantung kana x. Mangka urang bisa nganyatakeun turunan: y '= t' (x) * x + t. Ngaganti sakabeh ieu kana persamaan aslina urang jeung ngajarkeun eta, urang boga conto tina separation variabel t salaku x. Ngajawab deui sarta ménta ka gumantungna t (x). Nalika urang ngagaduhan eta, kantun ngagantikeun saméméhna kami substitusi y = t (x) * x. Teras we laun gumantungna of y dina x.

Sangkan eta jelas, urang wajib ngartos conto: x * y '= yx * e y / x.

Lamun mariksa nu ngagantian sadaya nyirorot. Ku kituna, persamaan estu homogen. Ayeuna nyieun substitusi sejen, urang dikaitkeun: y = t (x) * x na y '= t' (x) * x + t (x). Saatos nyederhanakeun persamaan handap: t '(x) * x = -e t. Urang mutuskeun meunang sampel jeung variabel dipisahkeun jeung urang ^{meunang: e -t = ln (c *} x). Urang ngan peryogi ngaganti t ku y / x (sabab lamun y = t * x, lajeng t = y / x), sarta urang meunang ^{jawaban: e -y / x = ln (} x * C).

persamaan diferensial linier tina urutan kahiji

Ieu waktos mertimbangkeun topik lega sejen. Urang bakal béda hétérogén mimitina-urutan differential equations. Kumaha aranjeunna béda ti dua saméméhna? Hayu urang nyanghareupan eta. Liniér persamaan urutan kahiji diferensial dina formulir umum tina persamaan bisa ditulis sahingga: y '+ g (x) * y = z (x). Eta kudu ngijinkeun eta z (x) jeung g (x) bisa jadi nilai konstan.

Di dieu hiji conto: y '- y * x = x ^2.

Aya dua cara pikeun ngajawab, sarta kami mesen Marilah urang nalungtik duanana. Kahiji - metoda variasi konstanta wenang.

Pikeun ngajawab persamaan di luhur ieu, perlu equate sisi-leungeun katuhu hareup jeung nol, sarta ngajawab persamaan hasilna nu sanggeus mindahkeun patempatan janten:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Ayeuna perlu ngaganti konstanta C ₁ pungsi v (x), nu urang manggihan.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tarik turunan ngagantian:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Tur ngaganti ungkapan ieu kana persamaan aslina:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Anjeun tiasa ningali éta di sisi kénca ti dua istilah téh ngurangan. Lamun sababaraha conto yen teu kajadian, mangka anjeun geus dipigawé lepat. Urang neruskeun:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ayeuna urang ngajawab persamaan dawam nu rék misahkeun variabel:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Ngaleupaskeun integral, urang kudu nerapkeun integrasi nu ku bagéan di dieu. Sanajan kitu, ieu teu topik artikel ieu. Lamun anjeun resep, anjeun bisa neuleuman sorangan pikeun ngalakonan lampah misalna. Teu hese, tur kalawan cukup skill sarta perawatan teu consuming waktu.

Ngarujuk kana metoda kadua solusi tina persamaan inhomogeneous: metoda Bernoulli. Naon pendekatan anu gancang sarta gampang - éta nepi ka anjeun.

Ku kituna, nalika ngarengsekeun metoda ieu, urang perlu nyieun substitusi nu: y = k * n. Di dieu, k sarta n - sababaraha fungsi gumantung x. Lajeng turunan bakal kasampak kawas: y '= k' * n + k * n '. Diganti dua panggantian dina persamaan:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grup up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Ayeuna perlu equate ka enol, nu aya dina kurung. Ayeuna, lamun ngagabungkeun dua persamaan hasilna, urang ménta sistem differential equations urutan kahiji bisa direngsekeun:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

The sarua mimitina mutuskeun kumaha persamaan biasa. Jang ngalampahkeun ieu, anjeun kudu misahkeun variabel:

DN / DX = x * v;

DN / n = xdx.

Simkuring nyandak integral sarta kami ménta: ln (n) = x ^2/2. Lajeng, upami urang nganyatakeun n:

n = e ^{x2 / 2.}

Ayeuna ngagantikeun persamaan hasilna kana persamaan kadua:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sarta transforming, urang ménta persamaan sarua sakumaha dina metoda kahiji:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Urang ogé moal ngabahas Peta salajengna. Konon dina munggaran differential equations mimitina-urutan solusi ngabalukarkeun kasusah considerable. Sanajan kitu, a immersion deeper dina topik ieu dimimitian meunang hadé tur hadé.

Dimana differential equations?

Persamaan pisan aktif diferensial dipaké dina fisika, sakumaha ampir kabéh hukum dasar anu ditulis dina formulir diferensial, sarta maranéhanana Rumusna, éta kami nempo - solusi pikeun persamaan ieu. Dina kimia, aranjeunna dipaké pikeun alesan sarua: hukum dasar anu diturunkeun ngaliwatan aranjeunna. Dina biologi, persamaan diferensial nu dipaké pikeun model paripolah sistim, kayaning Samangsa - mangsa. Éta ogé bisa dipaké pikeun nyieun model baranahan, contona, koloni mikroorganisme.

Salaku differential equations ngabantu dina kahirupan?

Jawaban keur ieu basajan: nanaon. Mun anjeun lain élmuwan atanapi insinyur, éta masih aya kacangcayaan éta maranéhna bakal mangpaat. Sanajan kitu, teu menyakiti uninga naon persamaan diferensial sarta biasa direngsekeun pikeun ngembangkeun sakabéh. Lajeng sual putra atanapi putri, "naon persamaan diferensial?" ulah nempatkeun anjeun dina tungtung maot. Muhun, mun anjeun saurang élmuwan atanapi insinyur, teras anjeun terang pentingna jejer ieu elmu nanaon. Tapi paling importantly, yén kiwari keur patarosan "kumaha carana ngajawab persamaan diferensial nu urutan kahiji?" Anjeun bakal salawasna bisa masihan jawaban. Satuju, ieu salawasna nice mun anjeun nyadar yén naon urang aya malah sieun manggihan.

Masalah utama dina studi

Masalah utama dina pamahaman topik ieu watek goréng fungsi integrasi sarta diferensiasi. Mun anjeun uncomfortable nganggap turunan sarta integrals, éta meureun sia leuwih pikeun neuleuman, pikeun neuleuman métode béda ti integrasi sarta diferensiasi, sarta ngan lajeng lumangsungna ulikan ngeunaan bahan anu geus dijelaskeun dina artikel.

Sababaraha urang anu reuwas pikeun neuleuman éta DX bisa dibikeun, jadi saméméhna (dina sakola) pamadegan yén fraksi dy / DX nyaeta indivisible. Satuluyna anjeun perlu maca literatur on turunan jeung ngarti yén éta téh dangong kuantitas infinitely leutik, nu bisa dimanipulasi dina ngaréngsékeun persamaan.

Loba jalma teu langsung nyadar yén solusi differential equations tina urutan kahiji - ieu téh mindeng hiji fungsi atawa neberuschiysya integral, sarta delusion ieu méré éta loba gangguan.

Naon sejenna bisa diulik pikeun hadé ngartos?

Hadé pisan mun éta mimitian immersion salajengna kana dunya kalkulus diferensial buku teks husus, contona, dina analisa matematik pikeun siswa specialties non-matematik. Anjeun teras bisa ngalih ka literatur leuwih husus.

Konon, sajaba diferensial, aya kénéh persamaan integral, jadi anjeun bakal salawasna mibanda hal anu narékahan pikeun tur naon diajar.

kacindekan

Urang ngaharepkeun sanggeus maca artikel kieu anjeun bakal boga hiji gagasan naon persamaan diferensial na kumaha carana ngajawab aranjeunna neuleu.

Dina sagala hal, matématika sagala cara mangpaat pikeun urang dina kahirupan. Eta tumuwuh logika jeung perhatian, tanpa nu unggal lalaki, sakumaha tanpa leungeun.