Differentials - naon ieu? Kumaha carana manggihan diferensial tina fungsi nu?

Marengan turunan fungsi maranéhna differentials - eta sababaraha konsep dasar anu kalkulus diferensial, bagian utama analisis matematik. Salaku inextricably numbu, duanana sababaraha abad loba dipaké dina ngarengsekeun ampir kabéh masalah anu jengkar di kursus aktivitas ilmiah sarta teknis.

Mecenghulna konsép diferensial

Pikeun kahiji kalina nerangkeun yén hiji diferensial misalna, salah sahiji pendiri (babarengan jeung Isaakom Nyutonom) diferensial kalkulus matematikawan Jerman kawentar Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sateuacan eta matematikawan abad ka-17. dipaké gagasan pisan eces tur samar tina sababaraha infinitesimal "sapinuhna" tina sagala fungsi dipikawanoh, ngalambangkeun hiji nilai konstan pisan leutik tapi teu sarua jeung nol, dihandap anu peunteun fungsi teu bisa ngan saukur. Mangkana dinya éta ngan hiji hambalan ka dipikawanohna notions of increments infinitesimal sahiji alesan fungsi na increments masing-masing tina fungsi nu bisa ditembongkeun dina watesan turunan tina dimungkinkeun. Na hambalan ieu dicokot ampir sakaligus di luhur dua ilmuwan hébat.

Dumasar kudu alamat urgent masalah mékanika praktis anu adu elmu gancang ngembang industri jeung téhnologi, Newton sarta Leibniz nyiptakeun cara umum di nyungsi fungsi laju robah (utamana ku hal ka speed mékanis awak tina lintasan dipikawanoh), nu ngarah ka dipikawanohna konsep sapertos, salaku fungsi turunan sarta diferensial, oge kapanggih solusi masalah algoritma tibalik jadi dipikawanoh per se (variabel) speeds diliwatan pikeun manggihan jalur anu geus ngarah ka konsép integral Ala.

Dina karya Leibniz sarta Newton gagasan munggaran eta mucunghul yén differentials - nyaeta sabanding jeung increment sahiji alesan dasar Δh increments fungsi Δu nu bisa hasil dilarapkeun keur ngitung nilai tina dimungkinkeun. Dina basa sejen, aranjeunna geus manggihan yén hiji fungsi increment bisa jadi iraha wae titik (dina domain miboga harti) anu ditepikeun ngaliwatan na turunan duanana Δu = y '(x) Δh + αΔh mana α Δh - sésana, tending enol sakumaha Δh → 0, leuwih gancang batan Δh sabenerna.

Numutkeun pendiri analisis matematik, anu differentials - ieu persis istilah munggaran di increments fungsi nanaon. Malah tanpa gaduh diartikeun jelas urutan konsép wates nu dipikaharti intuisi yén nilai diferensial sahiji turunan condong fungsina nalika Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Teu kawas Newton, nu éta utamina mangrupa fisikawan jeung aparat matematik dianggap salaku hiji alat bantu pikeun ulikan ngeunaan masalah fisik, Leibniz dibayar leuwih perhatian ka toolkit ieu, kaasup sistem lambang visual jeung comprehensible nilai matematik. Ieu anjeunna anu ngajukeun notasi baku tina differentials fungsi dy = y '(x) DX, DX, sarta turunan tina fungsi argumen sakumaha y hubungan maranéhanana' (x) = dy / DX.

Definisi modérn

What is the diferensial dina watesan matematika modern? Éta téh raket patalina jeung konsép hiji increment variabel. Lamun variabel y nyokot nilai mimiti y y = _1, teras y = y _2, beda y ₂ ─ y ₁ disebut nilai increment y. increment bisa positif. négatip jeung enol. Kecap "increment" ieu diresmikeun Δ, Δu ngarekam (baca 'délta y') ngalambangkeun nilai tina increment y. jadi Δu = y ₂ ─ y _1.

Lamun nilai Δu fungsi sawenang y = f (x) bisa jadi digambarkeun salaku Δu = A Δh + α, dimana A henteu gumantungna kana Δh, t. E. A = const pikeun dibikeun x, jeung α istilah lamun Δh → 0 condong éta malah gancang ti nu sabenerna Δh, teras kahiji ( "master") a istilah sabanding Δh, sarta kanggo y = f (x) diferensial, dilambangkeun dy atanapi dF (x) (baca "y de", "de eff ti X"). Kituna differentials - a "utama" linear kalayan hormat ka komponen increments fungsi Δh.

katerangan mékanis

Hayu s = f (t) - jarak dina garis lempeng pindah titik bahan tina posisi awal (t - waktos perjalanan). Increment Δs - teh titik jalan salami waktos interval Δt, jeung DS diferensial = f '(t) Δt - jalur ieu, nu titik bakal dilaksanakeun pikeun waktos Δt, upami eta dipikagaduh laju f' (t), ngahontal dina waktu t . Nalika hiji DS Δt jalur imajinér infinitesimal béda ti Δs sabenerna infinitesimally gaduh urutan luhur nu aya kaitannana ka Δt. Lamun laju di waktu t teu sarua jeung nol, DS nilai perkiraan mere titik bias leutik.

interpretasi geometric

Hayu garis L nyaéta grafik ngeunaan y = f (x). Lajeng Δ x = MQ, Δu = QM '(tingali. Gambar dihandap). Tangent Bungbulang ngarecah Δu motong jadi dua bagian, QN na nm '. Munggaran tur Δh nyaeta sabanding QN = MQ ∙ tg (sudut QMN) = Δh f '(x), t. E QN mangrupakeun diférensial dy.

Bagian kadua bédana Δu NM'daet ─ dy, nalika Δh → 0 nm panjang 'nurun malah gancang batan increment sahiji argumen, misalna eta boga urutan of smallness luhur batan Δh. Dina hal ieu, lamun f '(x) ≠ 0 (tangent non-paralel sapi) bagéan QM'i QN sarimbag; istilah sanésna nm 'nurun gancang (urutan of smallness sahiji na luhur) ti total increment Δu = QM'. Ieu dibuktikeun dina Gambar (approaching bagean M'k M NM'sostavlyaet sagala leutik persentase QM 'ruas).

Ku kituna, grafis diferensial fungsi sawenang sarua jeung increment tina ordinate of tangent kana.

Turunan sarta diferensial

Hiji faktor di istilah mimiti fungsi increment ekspresi sarua jeung nilai f turunan na '(x). Ku kituna, di handap hubungan - dy = f '(x) Δh atanapi dF (x) = f' (x) Δh.

Perlu dipikanyaho yén increment sahiji argumen bebas sarua jeung diferensial Δh = DX na. Sasuai, urang bisa nulis: f '(x) DX = dy.

Pananjung (kadangkala disebut jadi "putusan") differentials anu dipigawé ku aturan sarua sakumaha keur turunan. Hiji daptar aranjeunna dirumuskeun di handap.

Naon deui universal: nu increment sahiji argumen atanapi diferensial na

Di dieu perlu nyieun sababaraha clarifications. nilai ngagambarkeun f '(x) diferensial Δh mungkin nalika tempo x salaku hiji argumen. Tapi fungsi nu tiasa janten rumit, nu x bisa janten fungsi tina t argumen. Mangka ngagambarkeun babasan diferensial tina f '(x) Δh, sakumaha aturan, mustahil; iwal dina kasus gumantungna linier x = di + b.

Salaku kana rumus f '(x) DX = dy, teras dina kasus bebas argumen x (lajeng DX = Δh) dina kasus gumantungna parametrik x t, éta diferensial.

Contona, babasan 2 x Δh kanggo y = x ² diferensial na nalika x mangrupa argumen. Urang ayeuna x = t ² sarta nganggap t argumen. Lajeng y = x ² = t ^4.

Ieu dituturkeun ku (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Mangkana Δh = 2tΔt + Δt ^2. Mangkana: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

éksprési ieu teu sabanding jeung Δt, sarta ku kituna ayeuna 2xΔh teu diferensial. Ieu bisa kapanggih tina persamaan y = x ² = t ^4. Éta dy sarua = 4t ³ Δt.

Mun urang nyandak babasan 2xdx, éta teh diferensial y = x ² keur naon argumen t. Mémang, nalika x = t ² ménta DX = 2tΔt.

Jadi 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. The differentials ekspresi dirékam ku dua variabel béda coincide.

Ngaganti increments differentials

Mun f '(x) ≠ 0, teras Δu na dy sarimbag (lamun Δh → 0); lamun f '(x) = 0 (harti jeung dy = 0), maranéhna henteu sarua.

Contona, upami y = x ^2, teras Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² na dy = 2xΔh. Lamun x = 3, teras urang gaduh Δu = 6Δh + Δh ² na dy = 6Δh anu sarimbag alatan Δh ² → 0, nalika x = 0 nilai Δu = Δh ² na dy = 0 henteu sarua.

Kanyataan ieu, babarengan jeung struktur basajan tina diferensial nu (m. E. Linearity nu aya kaitannana ka Δh), mindeng dipaké dina itungan perkiraan, dina anggapan yén Δu ≈ dy pikeun Δh leutik. Manggihan fungsi diferensial téh biasana gampang ti keur ngitung nilai pasti tina increment nu.

Contona, urang boga cukang logam kalawan ujung x = 10.00 cm. Di Élmu sarta Téknik ujung dipanjangan dina Δh = 0,001 cm. Kumaha ngaronjat volume kubus V? Simkuring boga V = x ^2, sahingga DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Pébruari ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Ngaronjat ΔV sarimbag diferensial DV, supaya ΔV = 3 cm ^3. itungan pinuh bakal masihan ³ ΔV = 10,01 ─ Maret ¹⁰ = 3.003001. Tapi hasil sadaya digit iwal-usulna teu jelas heula; kituna, ieu masih perlu buleud nepi ka 3 cm ^3.

Jelas, pendekatan ieu mangpaat ngan lamun kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun estimasi nilai imparted kalayan kasalahan.

fungsi diferensial: conto

Hayu urang coba manggihkeun diferensial nu fungsi y = x ^3, nyungsi turunan. Hayu urang méré increment argumen Δu tur nangtukeun.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Di dieu, koefisien A = 3x ² henteu gumantung kana Δh, jadi yén istilah kahiji nyaeta sabanding Δh, anu sejen anggota 3xΔh Δh ² + ³ lamun Δh → 0 nurun gancang batan increment sahiji argumen. Akibatna, hiji anggota 3x ² Δh teh diferensial of y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX atawa d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Wherein d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Urang ayeuna mendakan fungsi y = 1 / x ku turunan éta. Lajeng d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Kituna dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials fungsi aljabar dasar dijelaskeun di handap.

itungan perkiraan maké diferensial

Pikeun evaluate fungsi f (x), sarta anak turunan f '(x) dina x = a nyaeta mindeng hésé, tapi ka lakonan hal nu sarua di sakuriling x = a teh teu gampang. Lajeng datang ka bantuan ti ekspresi perkiraan

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Hal ieu méré hiji nilai dumasar fungsi di increments leutik ngaliwatan diferensial na Δh f '(a) Δh.

Kituna, rumus ieu méré hiji éksprési perkiraan keur fungsi dina titik ahir nyangkokkeun sabagian panjang Δh salaku jumlah nilaina di titik awal tina bagian (x = a) jeung diferensial di titik awal sami. Akurasi metoda pikeun nangtukeun nilai fungsi nu handap illustrates gambar éta.

Sanajan kitu dipikawanoh jeung ekspresi pasti keur nilai tina fungsi x = a + Δh dirumuskeun ku increments terhingga Rumus (atawa, Alternatipna, rumusna Lagrange urang)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

dimana titik x = a + ξ aya dina interval tina x = ka x = a + Δh, sanajan posisi pasti nyaeta kanyahoan. Rumus pasti ngamungkinkeun pikeun evaluate kasalahan tina rumus perkiraan. Lamun urang nempatkeun dina Lagrange Rumus ξ = Δh / 2, sanajan ceases janten akurat, tapi méré, sakumaha aturan, pendekatan leuwih hadé ti babasan aslina dina watesan diferensial nu.

Rumusna evaluasi kasalahan ku nerapkeun diferensial

Ngukur instrumen , prinsipna mah, taliti, sarta dibawa ka data ukur pakait jeung kasalahan. Aranjeunna dicirikeun ku ngawatesan éta kasalahan mutlak, atawa, dina pondok, anu kasalahan wates - positif, jelas exceeding kasalahan dina nilai mutlak (atawa di paling sarua jeung eta). Ngawatesan éta kasalahan relatif disebut Bagi diala ku ngabagi ku nilai mutlak tina nilai diukur.

Hayu pasti rumusna y = f (x) fungsi dipaké pikeun vychislyaeniya y, tapi nilai x nyaéta hasil pangukuran, sarta ku kituna brings nu y kasalahan. Lajeng, pikeun manggihan nu ngawatesan kasalahan mutlak │Δu│funktsii y, ngagunakeun rumus

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

dimana │Δh│yavlyaetsya marginal kasalahan argumen. kuantitas │Δu│ kudu rounded luhur, sakumaha itungan taliti sorangan teh gaganti tina increment dina itungan diferensial.