Progression geometri. Conto ka putusan

Mertimbangkeun urutan.

7 28 112 448 1792 ...

Rada jelas nunjukeun yen nilai salah sahiji elemen na leuwih ti éta saméméhna persis opat kali. Ku kituna, runtuyan ieu progression a.

progression geometri disebut runtuyan tanpa wates of angka, fitur utama nu yén angka di handap ieu dicandak ti luhur ku cara ngalikeun ku sababaraha angka definite. Ieu dikedalkeun ku rumus.

_{a z +1 = a z · q} , dimana z - Jumlah unsur dipilih.

Sasuai, z ∈ N.

Hiji waktu nalika sakola anu ditalungtik progression geometric - kelas 9. Conto baris mantuan ngarti konsep:

0,25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Dumasar rumusan ieu di progression of pembagi bisa kapanggih saperti kieu:

Ngayakeun q, atanapi b _z teu kaci nol. Ogé, unggal elemen ti runtuyan nomer progression teu kudu enol.

Sasuai, ningali jumlah saterusna jumlah hiji, kalikeun kiwari dimungkinkeun ku q.

Pikeun nangtukeun progression ieu, anjeun kudu nangtukeun unsur mimiti eta na pembagi. Sanggeus éta kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun manggihan salah sahiji anggota handap sarta jumlah maranéhanana.

spésiés

Gumantung kana q sarta _1, progression ieu dibagi kana sababaraha jenis:

• Mun hiji _1, sarta q nyaéta gede ti salah sahiji, teras urutan a - ngaronjatkeun kalayan tiap unsur saterusna tina hiji progression geometric. Conto tujuanana nu wincikan di handap.

Contona: a ₁ = 3, q = 2 - gede ti persatuan, duanana parameter.

Lajeng tina sekuen angka bisa ditulis salaku:

3 6 12 24 48 ...

• Mun | q | kirang ti hiji, nyaéta éta sarua jeung multiplication ku division, anu progression kalayan kaayaanana sarupa - nurunna progression geometric. Conto tujuanana nu wincikan di handap.

Contona: a ₁ = 6, q = 1/3 - a ₁ nyaeta gede ti salah sahiji, q - kirang.

Lajeng tina sekuen angka bisa ditulis saperti kieu:

6 2 2/3 ... - naon baé unsur langkung elemen handap eta, nyaeta 3 kali.

• Bolak. Mun q <0, tanda tina angka tina sekuen bolak terus paduli a _1, sarta unsur naon kanaékan atanapi panurunan.

Contona: a ₁ = -3, q = -2 - nu duanana kirang ti nol.

Lajeng tina sekuen angka bisa ditulis salaku:

3, 6, -12, 24, ...

rumus

Pikeun pamakéan merenah, aya loba progressions geometric tina rumus:

• Rumus z-th istilah. Hal ieu ngamungkinkeun itungan unsur dina jumlah husus tanpa ngitung angka saméméhna.

Conto: q = 3, hiji = ₁ 4. diperlukeun keur ngitung hiji progression unsur kaopat.

Solusi: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur kahiji, anu jumlahna sarua jeung z. Hal ieu ngamungkinkeun itungan sakur elemen dina runtuyan a ka inklusif _z.

≠ 0, sahingga, q teu 1 - (q 1) Kusabab (1- q) aya dina pembagi, teras.

Catetan: mun q = 1, teras progression nu bakal geus digambarkeun sababaraha endlessly repeating jumlahna.

Jumlah éksponénsial conto: a ₁ = 2, q = -2. Ngitung S _5.

Solusi: S ₅ = 22 - Rumus itungan.

• Jumlah lamun | q | <1 na nalika z nuju ka tak terhingga.

Contona: a ₁ = _2, q = 0,5. Manggihan jumlah éta.

Solusi: S _z = 2 x = 4

Mun urang ngitung jumlah sababaraha anggota manual, Anjeun bakal ningali yen eta anu memang komitmen opat.

S _z = + 1 + 2 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

Sababaraha sipat:

• Hiji sipat ciri. Lamun kaayaan di handap Ieu nahan pikeun z wae, teras dibikeun runtuyan numeris - a progression geometric:

a _z ² = Hiji _{z -1} · A _{z + 1}

• Ieu oge pasagi angka wae nyaeta éksponénsial ku cara maké tambahan tina kuadrat tina dua angka sejenna dina sagala sakaligus dibikeun, lamun aranjeunna equidistant tina unsur.

² a _z = _z a _{- t} ² ₊ a _z + _t ² dimana t - jarak antara nomer ieu.

• Unsur béda ku kali q.
• The logaritma tina unsur progression ogé ngabentuk progression tapi arithmetic, nyaeta, unggal aranjeunna langkung ti hiji saméméhna ku jumlah nu tangtu.

Conto sababaraha masalah klasik

Pikeun leuwih hadé ngartos naon a progression geometric, jeung conto kaputusan pikeun kelas 9 bisa mantuan.

• Sarat jeung kaayaan: a ₁ = 3, hiji ₃ = 48. Néangan q.

Solusi: tiap unsur saterusna di leuwih ti éta q saméméhna waktos. Ieu diperlukeun pikeun nganyatakeun sababaraha elemen ngaliwatan séjén via pangbagi.

Akibatna, a ₃ = q ² · a ₁

Nalika ngaganti q = 4

• Kaayaan: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Ngitung S _6.

Solusi: Jang ngalampahkeun ieu, eta suffices pikeun manggihan q, unsur kahiji na diganti kana rumus.

a ₃ = q · a _2, konsékuénsina, q = 2

a ₂ = q · A _1, jadi a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Manggihan unsur kaopat progression.

Solusi: éta cukup pikeun nganyatakeun unsur kaopat ngaliwatan kahiji sarta ngaliwatan pembagi.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Aplikasi conto:

• Bank klien geus nyumbang jumlah 10.000 rubles, ngabawah unggal taun klien jeung jumlah poko bakal ditambahkeun 6% ti dinya leuwih tiheula. Sabaraha duit dina rekening sanggeus 4 taun?

Solusi: Jumlah awal sarua 10 sarébu rubles. Ku kituna, sataun sanggeus Investasi di akun nu bakal jumlah sarua 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Sasuai, jumlah dina akun nu malah sanggeus sataun bakal ditembongkeun saperti kieu:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Hartina, tiap taun jumlah ngaronjat ka 1,06 kali. Lantaran kitu, pikeun manggihan jumlah akun sanggeus 4 taun, éta suffices pikeun manggihan hiji progression kaopat unsur, nu dirumuskeun unsur kahiji sarua jeung 10 rébu, sarta pangbagi sarua 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Conto masalah dina ngitung ti jumlah:

Dina sagala rupa masalah migunakeun progression geometric. Conto nyungsi jumlah éta bisa di atur kieu:

a ₁ = 4, q = 2, ngitung S _5.

Solusi: kabéh data dipikabutuh pikeun itungan anu dipikawanoh, kantun ngagantikeun kana rumus.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. Ngitung jumlah genep elemen munggaran.

solusi:

The Geom. kamajuan unggal unsur tina gedé hareup ti jaman q saméméhna, maksudna, keur ngitung jumlah nu peryogi kauninga unsur a ₁ jeung pangbagi q.

a ₂ · q = a ₃

q = 3

Nya kitu, kudu neangan anu _1, a ₂ sarta nyaho q.

a ₁ · q = a ₂

a ₁ = 2

Lajeng deui suffices mun ngagantikeun data dipikawanoh kana jumlah rumus.

S ₆ = 728.