Hiji sistem liniér aljabar persamaan. Sistim homogen tina liniér aljabar persamaan

Di sakola, unggal urang neuleuman persamaan jeung, tangtu bae, sistem Persamaan. Tapi henteu loba anu nyaho yén aya sababaraha cara pikeun ngajawab éta. Dinten ieu kami baris nempo persis sadayana metodeu pikeun ngarengsekeun sistem liniér aljabar persamaan, nu diwangun ku leuwih ti dua persamaan.

dongeng

Dinten ieu kami nyaho yen seni ngaréngsékeun persamaan jeung sistem maranéhna asalna di Babul kuno jeung Mesir. Sanajan kitu, sarua dina formulir akrab maranéhanana mecenghul ka urang sanggeus kajadian tina sarua tanda "=", nu diwanohkeun dina 1556 ku catetan matematika basa Inggris. Ku jalan kitu, simbol ieu dipilih keur alesan: eta hartina dua bagéan sarua paralel. Memang, conto pangalusna sarua henteu datangna up.

Pangadeg lettering modern jeung lambang extent kanyahoan, anu matematikawan Perancis Fransua Viet. Sanajan kitu, designation na mah béda sacara signifikan ti dinten. Contona, hiji pasagi hiji angka kanyahoan anjeunna ditunjuk ku hurup Q (iwung "quadratus".), Jeung cukang - (. Iwung "cubus") hurup C. lambang ieu kiwari sigana uncomfortable, tapi lajeng ieu cara paling intuitif nulis sistem liniér aljabar persamaan.

Sanajan kitu, a disadvantage dina padika prevailing leyuran éta yén matematikawan geus dianggap ukur akar positif. Sugan ieu alatan kanyataan yén nilai négatip teu boga naon aplikasi praktis. Hiji cara atanapi sejen, tapi nu pangheulana dianggap akar négatip mimiti sanggeus matematik Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano na Raphael Bombelli dina abad ka-16. A katingal modern, metoda utama ngarengsekeun persamaan kuadrat (ngaliwatan discriminant) diadegkeun ukur dina abad ka-17 ngaliwatan karya Descartes jeung Newton.

Dina tengah matematikawan Swiss abad ka-18 Jibril Cramér kapanggih cara anyar nyieun solusi sistem tina persamaan linier gampang. Metoda ieu engké dingaranan ti namina, sarta nepi ka poé ieu kami nganggo éta. Tapi dina metoda Obrolan Kramer urang saeutik saterusna, tapi pikeun ayeuna urang bahas persamaan liniér sarta solusi maranéhna misah ti sistem.

persamaan linier

Persamaan liniér - persamaan pangbasajanna kalawan variabel (s). Aranjeunna milik aljabar anu. Persamaan linier ditulis dina wangun umum saperti kieu: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b. Kintunan ti formulir ieu urang kudu di persiapan sistem na matrices on.

Hiji sistem liniér aljabar persamaan

Ngartikeun istilah ieu: susunan persamaan nu gaduh unknowns umum na leyuran umum. Ilaharna, di sakola sagala direngsekeun sistem hiji sareng dua atanapi malah tilu persamaan. Tapi aya sistem kalawan opat atawa leuwih komponén. Hayu urang tingali heula carana nulis éta ka handap sahingga engké deui éta merenah pikeun ngajawab. Firstly, sistem liniér aljabar persamaan bakal béda hadé lamun kabéh variabel anu ditulis salaku x jeung indéks saluyu: 1,2,3 jeung saterusna. Bréh, sakuduna ngakibatkeun sakabeh persamaan jeung formulir canonical: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b.

Barina ogé léngkah ieu, urang tiasa ngawitan ngabejaan ka maneh kumaha pikeun manggihan solusi sistem tina persamaan linier. Pisan pikeun anu baris datang dina matrix gunana.

matrix

Matrix - a tabel nu diwangun ku barisan sarta kolom, sarta elemen na aya di simpang maranéhanana. Ieu tiasa boh hiji nilai husus atawa variabel. Dina kalolobaan kasus, pikeun nunjuk elemen nu disusun underneath nu subscripts (e.g., a ₁₁ atanapi ₂₃ ogé). Indéks heula nunjukkeun jumlah baris, sarta kadua - kolom. matrices luhur sakumaha di luhur tur sagala unsur matematik lianna bisa ngalakukeun rupa operasi. Ku kituna, anjeun tiasa:

1) subtract ditambah ukuran sarua meja.

2) kalikeun matrix ka sagala angka atawa vektor.

3) transpos: transformasi garis matrix di kolom, jeung kolom - dina garis.

4) kalikeun matrix, upami jumlah barisan sarua jeung salah sahijina sababaraha kolom.

Keur ngabahas di jéntré sakabéh téhnik ieu, sabab anu kapaké pikeun urang di mangsa nu bakal datang. Pangurangan sarta ditambah matrices basajan pisan. Kusabab urang nyandak ukuran matrix sarua, masing-masing unsur hiji méja téh patali ka unggal unsur séjén. Ku sabab kitu urang tambahkeun (subtract) dua unsur ieu (hal anu penting anu maranéhanana nangtung dina taneuh sarua di matrices maranéhanana). Nalika dikali Jumlah matrix atawa vektor anjeun bisa kalayan gampang kalikeun unggal unsur matrix ku nu jumlahna (atawa vektor). Transposisi - a prosés pisan metot. Pisan metot sakapeung ningali manehna dina kahirupan nyata, contona, lamun ngarobah orientasi tina tablet atawa telepon. Ikon dina desktop nyaeta matriks, sarta kalawan parobahan posisi, mangka transposed tur janten lega, tapi nurun dina jangkungna.

Hayu urang nalungtik leuwih proses kayaning matrix multiplication. Sanajan anjeunna ngawartoskeun kami, sarta teu mangpaat, tapi jadi sadar éta kénéh mangpaat. Balikeun dua matrices tiasa ukur dina kondisi yén Jumlah kolom dina hiji méja sarua jeung Jumlah jajar lianna. Ayeuna butuh elemen salah matrix garis tur elemen séjén tina kolom alkana. Kalikeun aranjeunna ka silih lajeng jumlah (i.e., contona, hiji produk tina elemen ₁₁ sarta ₁₂ sarta dina ₁₂ b jeung ₂₂ b bakal sarua jeung: a * b _{11 12} + ₁₂ * b sarta _22). Ku kituna, hiji item tabel tunggal, sarta metoda sarupa eta anu kaeusi salajengna.

Ayeuna urang tiasa ngawitan mertimbangkeun kumaha ngajawab sistim persamaan linier.

Gauss

tema ieu mimitian lumangsung di sakola. Urang terang kacida alusna konsep "sistem dua persamaan linier" na nyaho kumaha carana ngajawab aranjeunna. Tapi kumaha lamun jumlah persamaan anu gede ti dua? Ieu bakal mantuan kami metoda Gauss.

Tangtu, metoda ieu nyaeta merenah ngagunakeun, lamun nyieun matriks sistim éta. Tapi anjeun teu bisa ngarobah eta na mutuskeun dina sorangan.

Ku kituna, kumaha carana ngajawab eta ku sistem Persamaan linier Gauss? Ku jalan kitu, sanajan metoda ieu sarta dingaranan ti namina, tapi kapanggih eta di jaman baheula. Gauss boga hiji operasi dilumangsungkeun ku persamaan, jeung ahirna hasil dina totalitas keur formulir pajabat eselon. Hartina, nu peryogi luhur-handap (lamun nempatkeun neuleu) ti heula ka persamaan panungtungan waned salah kanyahoan. Dina basa sejen, urang kudu pastikeun yén urang saena, nyebutkeun, tilu persamaan: kahiji - tilu unknowns, dina kadua - dua dina katilu - salah. Lajeng, ti persamaan panungtungan, urang manggihan kanyahoan mimitina, ngagantikeun nilaina di kadua atawa persamaan kahiji, sarta salajengna manggihan dua variabel sésana.

aturan Cramér urang

Pikeun ngembangkeun téhnik ieu téh penting pikeun ngawasaan kaahlian tina tambahan, pangurangan of matrices, kitu ogé kudu bisa manggihan determinants. Sabab, lamun anjeun uncomfortable ngalakonan ieu kabeh atawa teu nyaho kumaha, perlu pikeun neuleuman jeung dilatih.

Naon hakekat metoda ieu, sarta kumaha carana bet kitu, mun meunang sistem Persamaan linier Cramér? Ieu kacida gampangna. Urang kudu ngawangun matriks wilangan (ampir sok) koefisien sahiji sistem tina liniér aljabar persamaan. Jang ngalampahkeun ieu, ngan saukur nyandak jumlah tina kanyahoan, sarta kami ngatur méja di urutan nu sipatna kacatet dina sistem. Lamun saméméh angka mangrupa tanda "-", lajeng urang nulis koefisien negatif. Ku kituna, urang nyieun matriks mimitina tina koefisien tina unknowns, teu kaasup jumlah sanggeus tanda sarua (tangtu, éta persamaan geus ngurangan kana formulir canonical nalika katuhu téh ngan sababaraha, sarta kénca - sagala unknowns kalawan koefisien). Satuluyna anjeun perlu nyieun sababaraha matrices - hiji keur unggal variabel. Pikeun tujuan ieu, dina matrix munggaran diganti ku salah sahiji kolom unggal nomer kolom jeung koéfisién sanggeus tanda sarua. Ku sabab kitu urang meunang sababaraha matrices lajeng manggihan determinants maranéhanana.

Sanggeus kami kapanggih di qualifiers, éta leutik. Urang boga hiji matrix awal, jeung aya sababaraha matrices turunan, nu pakait jeung variabel béda. Pikeun meunangkeun solusi sistem, urang ngabagi determinant meja hasilna dina determinant primér tabél. Jumlah anu dihasilkeun ngarupakeun nilai tina hiji variabel. Nya kitu, urang manggihan sagala unknowns.

métode séjén

Aya sababaraha metodeu dina urutan pikeun ménta solusi sistem tina persamaan linier. Contona, hiji disebut metoda Gauss-Yordania, nu dipaké pikeun nyungsi leyuran sistem persamaan kuadrat, sarta also relates to pamakéan matrices. Aya ogé Métode Jacobi pikeun ngarengsekeun sistem liniér aljabar persamaan. Anjeunna gampang diluyukeun kana sagala komputer tur dipaké dina komputasi.

kasus pajeulit

Pajeulitna biasana lumangsung lamun jumlah persamaan anu kirang ti jumlah variabel. Lajeng pasti urang bisa disebutkeun yen, atawa sistem nu aya inconsistent (ie, boga akar), atawa Jumlah kaputusan na nuju ka tak terhingga. Mun urang boga hal kadua - perlu nulis solusi umum tina sistem Persamaan linier. Bakal kaasup sahanteuna hiji variabel.

kacindekan

Di dieu kami datang ka tungtungna. Pikeun nyimpulkeun: urang kudu ngarti kumaha sistem matrix, diajar pikeun manggihan solusi umum tina sistem Persamaan linier. Sajaba kami dianggap pilihan séjén. Urang ilahar kaluar kumaha carana ngajawab sistim persamaan linier: ilangna Gaussian atawa aturan Cramér urang. Urang dikaitkeun kasus hese jeung cara sejenna nyungsi solusi.

Kanyataanna, masalah ieu leuwih luas, sarta lamun hayang hadé ngartos eta, urang mamatahan Anjeun maca leuwih lengkep ngeunaan literatur husus.