Maclaurin na dékomposisi tina sababaraha fungsi

Diajar matematika canggih kudu sadar yén jumlah runtuyan kakuatan dina interval konvergénsi sababaraha urang, nyaeta jumlah kontinyu sarta taya kali fungsi differentiated. patarosan timbul: ieu mungkin mun ngajawab yén dibéré hiji fungsi f sawenang (x) - ngarupakeun jumlah runtuyan kakuatan? Hartina, dina kaayaan naon f-tah f (x) bisa digambarkeun ku runtuyan kakuatan? Pentingna masalah ieu nyaéta yén kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun ngaganti ngadeukeutan £ Téologi f (x) ngarupakeun jumlah tina sababaraha istilah mimiti runtuyan kakuatan, éta téh polynomial a. fungsi ngagantian sapertos anu cukup basajan ekspresi - polynomial - nyaeta merenah tur di ngarengsekeun masalah tangtu dina analisis matematik, nyaéta dina ngarengsekeun integrals nalika ngitung differential equations , jsb ...

Hal ieu dibuktikeun, yén pikeun sababaraha f-ii f (x), wherein turunan tina (n 1 +) urutan -th bisa diitung, kaasup panganyarna dina sakuriling (α - Sunda; x ₀ + Sunda) tina hiji titik x = α Rumus adil nyaeta:

Rumus ieu dingaranan élmuwan kawentar Brooke Mekarwangi. Sajumlah anu diturunkeun tina hiji saméméhna, disebut runtuyan Maclaurin:

Hiji aturan anu ngamungkinkeun pikeun ngahasilkeun ékspansi dina runtuyan Maclaurin:

1. Nangtukeun turunan kahiji, kadua, katilu, ... urutan.
2. Ngitung naon turunan dina x = 0.
3. Catetan Maclaurin runtuyan pikeun fungsi ieu, lajeng nangtukeun interval konvergénsi.
4. Nangtukeun interval (-R; R), dimana dina bagian residual rumus Maclaurin

Urang Sunda _n (x) -> 0 pikeun n -> tak terhingga. Mun hiji aya, éta fungsi f (x) kudu sarua jeung jumlah runtuyan Maclaurin.

Mertimbangkeun ayeuna serial Maclaurin keur fungsi individu.

1. Jadi, kahiji bisa f (x) = e ^x. Tangtu, anu ciri maranéhna jadi f-Ia geus diturunkeun rupa-rupa pesenan, sarta f ^{(k) (x)} = e ^x, dimana k sarua jeung sakabeh nu nomer alam. Diganti x = 0. Simkuring ménta f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Dumasar nu baheula, sajumlah e ^x Ieu bakal kieu:

2. runtuyan Maclaurin pikeun fungsi f (x) = dosa x. Geuwat nangtukeun yén f-tah pikeun sakabéh turunan kanyahoan kudu, sagigireun f ^'(x) = cos x = dosa (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = dosa (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = dosa (x + n * k / 2), dimana k sarua jeung naon integer positif. Hartina, nyieun itungan basajan, bisa dicindekkeun yén runtuyan pikeun f (x) = dosa x bakal jiga kieu:

3. Ayeuna hayu urang nganggap iju f-f (x) = cos x. Éta kanyahoan pikeun sakabéh turunan urutan sawenang, sarta ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Sakali deui, eta sanggeus dijieun sababaraha itungan kami manggihan yén runtuyan pikeun f (x) = cos x bakal kasampak kawas kieu:

Ku kituna, kami geus didaptarkeun fitur pangpentingna anu bisa dimekarkeun dina runtuyan Maclaurin, tapi aranjeunna pelengkap serial Mekarwangi keur sababaraha fungsi. Ayeuna kami baris daptar aranjeunna ogé. Ogé kudu dicatet yén Mekarwangi runtuyan jeung runtuyan Maclaurin mangrupa bagian penting tina séri workshop ngeunaan kaputusan dina matematika luhur. Ku kituna, Mekarwangi seri.

1. kahiji nyaeta runtuyan f-ii f (x) = ln (1 + x). Saperti dina conto samemehna, pikeun urang kieu f (x) = ln (1 + x) bisa narilep angka hiji, ngagunakeun formulir umum ti séri Maclaurin. tapi pikeun fitur ieu Maclaurin tiasa didapet loba gampang. Integral tina runtuyan geometric, urang ménta jumlah pikeun f (x) = ln (1 + x) tina sampel:

2. Sarta kadua, anu bakal final dina artikel ieu, bakal runtuyan pikeun f (x) = arctg x. Pikeun x milik interval [-1; 1] mangrupakeun dékomposisi valid:

Éta sadayana. Dina artikel ieu Kuring geus surveyed serial Mekarwangi panglobana dipaké tur runtuyan Maclaurin dina matematika luhur, utamana di akademi ékonomi jeung teknis.